Лаборатория «Вероятностные методы в анализе» (10)

Название проекта:

Анализ, вероятность, квантовая теория, интегрируемые системы, машинное обучение и их приложения

Цель проекта:

Целью проекта является изучение патогенеза и механизма гибели нейронов в основных нейродегенеративных Цель научного проекта заключается в развитии и значительном расширении современных исследований в области математического анализа, теории вероятностей и смежных областей, проводимых в лаборатории «Вероятностные методы в анализе» Санкт-Петербургского государственного университета (СПбГУ). Предполагается распространить текущие исследования на новые для лаборатории области, такие как геометрия, математическая физика, анализ сигналов, теория представлений. Среди новых тем, которые планируется развить: точечные процессы, случайные последовательности, интегрируемые динамические системы, а также связи с теорией случайных матриц, задачами упаковки, приложениями в анализе сигналов и математической обработке медицинских данных.
Проект направлен на изучение ряда актуальных задач, связанных с применением вероятностных методов и техник в различных областях математики, таких как анализ, математическая физика, геометрия.

Задачи проекта:

1. Исследование применения методов задач Римана-Гильберта для нахождения и уточнения асимптотики ортогональных многочленов.

2. Исследование гиперболических рядов Фурье и их непрерывных аналогов, связанных с задачами единственности и интерполяции решений уравнения Клейна-Гордона.

3. Разработка новых подходов к исследованию интегральных средних производных рациональных и конечнолистных аналитических в односвязных областях функций.

4. Поиск оконных функций, для которых можно описать фрейм-множество.

5. Описание инвариантных относительно группы симметрий правильного m-угольника операторов Шрёдингера с нетривиальными ядрами, в том числе решение задачи Гриневича-Новикова, исследование расширения квадратичных форм лапласиана с добавлением взаимодействия с сингулярными потенциалами различного вида.

6. Изучение функционального исчисления Вейля для пар некоммутирующих самосопряжённых операторов и оценок таких функций при возмущении.

7. Исследование скорости сходимости в центральной предельной теореме для детерминантных и пфаффианных точечных процессов.

8. Исследование асимптотических экстремумов случайных процессов назначений, энтропийных свойств метрических пространств с мерой.

9. Исследование возможности совмещения спектров естественных самосопряженных операторов с обратными нулями дзета-функции с помощью конечно- и бесконечномерного возмущения.

10. Изучение тензорных инвариантов непрерывных и дискретных динамических систем на симплектических и пуассоновых многообразиях.

11. Изучение флуктуационного спектра модели Изинга и связи с универсальностью процесса Airy_2.

12. Исследование предельных форм и флуктуаций диаграмм Юнга по мере, дающейся кососимметрической двойственностью Хау.

13. Исследование конструкции Вульфа для капель в модели димеров на треугольной решетке в связи с моделью Изинга.

14. Изучение оптимальной ошибки восстановления функций по значениям в точках (по выборке), исследование нового вида классов функций, определяемых структурными условиями.

15. Построение инвариантов топологических диэлектриков с помощью редукции этой задачи к задаче об описании гомотопических классов непрерывных отображений тора в грассмановы многообразия.

16. Развитие теории квантованных приближений, т.е. приближений, при которых в качестве приближающего элемента берется линейная комбинация элементов из заданного множества с коэффициентами, пропорциональными некоторому фиксированному числу.

17. Усовершенствование техники аналитического решения задач линейного программирования Дельсарта за счет соотношений двойственности, компьютерных вычислений и анализа решений полиномиальных систем.

18. Разработка нового аппарата изучения геометрических и аппроксимативных свойств множеств – теории очистки и теории действующих точек единичной сферы.

19. Получение универсальных результатов (законов) для спектра случайных матриц большой размерности при минимальных предположениях на данные.

20. Разработка нового критерия оценки точности цветовых преобразований для видеоэндоскопических систем, учитывающих специфику исходных данных и сферы применения, методов синтеза цветовых преобразований, соответствующих новому критерию.

21. Подбор с помощью машинного обучения наилучшего сочетания препаратов для лечения лекарственно устойчивого туберкулеза, дифференциальной диагностики туберкулеза и саркоидоза, анализ эффективности химиотерапии у больных туберкулезом с лекарственной устойчивостью возбудителя.

22. Проведение детального многофакторного анализа данных по лечению рецидивирующей формы медуллобластомы.