Лаборатория «Вероятностные методы в анализе»

Научные результаты:

• Проведены работы по исследованию модели кулоновского газа около спектральной границы и связанных с данной моделью задач теории ортогональных полиномов. Получена точная асимптотика ортогональных полиномов, соответствующих весовым пространствам в ограниченной области комплексной плоскости. Решена нелинейная задача Римана-Гильберта при помощи обобщения подхода Итса-Тахтаджяна. Проведено исследование диагональных сужений ядра Бергмана, соответствующих корреляционным ядрам для случайных матриц.
• Для детерминантных точечных процессов в действительном и комплексном случае доказаны верхние оценки вероятности появления больших кластеров частиц. Показано, что поведение детерминантных точечных процессов очень сильно отличается от моделей, в которых частицы независимы – а именно, в детерминантном случае, большие кластеры гораздо менее вероятны. Таким образом, кулоновский газ обнаруживает гораздо более регулярное поведение, чем, например, пуассоновский процесс или многомерное броуновское движение. Получено явное описание мер Пальма детерминантных процессов с конфлюэнтным гипергеометрическим ядром, естественно возникающих в задаче гармонического анализа на бесконечномерной унитарной группе.
• Получено описание полных интерполяционных последовательностей для инвариантного относительно сдвига пространства, порожденного сдвигом функции Гаусса. Найденный критерий имеет простую геометрическую форму и выражается в терминах средних отклонений от целочисленный решетки. Показано также, что любая последовательность сэмплинга содержит полную интерполяционную последовательность, а любая интерполяционная последовательность может быть дополнена до полной интерполяционной, что позволяет доказать новым способом известные результаты Грехенига, Ромеро и Стоклера (2018) об описании последовательностей сэмплинга и интерполяции в терминах верхних и нижних плотностей.
• Решена задача Б.С. Кашина о поведении норм Шаттена-фон Неймана оператора проекции в пространстве матриц данной размерности на верхне-диагональные треугольные матрицы, получены асимптотически точные оценки на норму типа Шаттена-фон Неймана оператора проекции.
• Существенно дополнена теория Бирмана-Крейна-Вишика расширений неотрицательного симметричного оператора. Показано, что резольвента редуцированного расширения Крейна оператора и редуцированная резольвента самого оператора компактны лишь одновременно, а собственные значения этих операторов имеют одинаковую асимптотику. Исследован класс симметрических матриц Якоби, не удовлетворяющих условию Карлемана. Найдены  новые условия самосопряженности таких матриц, а также условия дискретности их спектров и максимальности индексов дефекта. Эти результаты применяются для доказательства новых условий самосопряженности, дискретности и максимальности индексов дефекта операторов Шредингера и Дирака с точечными взаимодействиями.
• Получены новые оценки интегральных средних производных рациональных и n-листных функций в областях с фрактальными границами. Неравенства Е.П. Долженко обобщены на случай n-листных функций в областях с спрямляемыми границами. Для областей, граница которых имеет размерность больше единицы, найдены степенные оценки в зависимости от порядка листности, в которых показатель зависит от размерности Минковского области.
• Предложен новый метод построения представляющих систем из воспроизводящих ядер для широкого класса пространств аналитических функций. В качестве приложения построены представляющие системы из ядер Коши в пространствах Харди в круге, в диск-алгебре, а также для широкого класса весовых пространств Харди (включающего в себя, в частности, пространства Дирихле, Бергмана, Харди-Соболева). Предъявлена рекуррентная процедура нахождения коэффициентов, оценка скорости сходимости.

Внедрение результатов исследования:

Были получены результаты исследований в области принципа неопределенности в задачах цветокоррекции, выполненные для индустриального партнера: исследовались преобразования между цветовыми пространствами RGB И XYZ, предложены несколько типов таких преобразований, а также варианты функции цены и алгоритмы для нахождения ее глобального минимума с проверкой на массиве реальных данных. Область использования: задачи поиска алгоритмов линейных преобразований с заданными ограничениями, пересчета таблиц цветов с дифференциацией различных цветовых параметров.

Образование и переподготовка кадров:

Организованы и проведены следующие научные мероприятия: конференции ​«Complex and Harmonic Analysis and Its Applications» (Санкт-Петербург, 23-26 ноября 2021 г.), «Probabilistic Techniques in Analysis: Spaces of Holomorphic functions» (Сочи, ​Сириус, 6-10 декабря 2021 г.), «Probabilistic Techniques in Analysis: Reproducing kernel Hilbert spaces» (Сочи, ​Сириус, 20-25 октября 2022​ г.)​, «Days of Analysis in Sirius» (Сочи, Сириус, 16-20​ октября 2023​ г.), «Discrete and Continuous Signals: Analysis, Information and Applications» (Санкт-Петербург,​ СПбГУ, 11-16​ декабря 2023​ г.​).

В рамках проекта защищены: диссертация на соискание ученого звания доктора физико-математических наук – 1, диссертация на соискание ученого звания кандидата физико-математических наук – 1.

Сотрудничество:

• Математический центр «Сириус» (Россия)
• Санкт-Петербургский международный математический институт имени Леонарда Эйлера (Россия)
• ФГБУ «НМИЦ им. В. А. Алмазова» (Россия)