Лаборатория «Вероятностные методы в анализе»

Научные результаты:

Ведущим ученым и коллективом лаборатории проводились работы по изучению детерминантных процессов на прямой в точках спектральной границы, анализу однопараметрических функций Шварца и связанных с ними динамических систем, исследовались возмущения неограниченных несамосопряженных операторов, задачам сэмплинга в пространствах аналитических функций. Исследовались проблемы единственности (а также и связанные с ними задачи интерполяции и сэмплинга) для класса гильбертовых пространств аналитических функций с воспроизводящим ядром. Именно для конечного подмножества области $\\Omega$ изучены условия убывания (к нулю) некоторого (бесконечного) набора производных данной функции в этих точках, соответственно, задача состоит в установлении невырожденности решения. Для классического пространства Баргманна-Фока изучена модель в двухточечном случае - в нуле исчезают все четные производные у функции этого класса и все нечетные у некоторого фоковского сдвига. Оказалось, что единственное решение такой задачи тривиально, более того, для подобного разбиения целых чисел нет ни сэмплинга, ни интерполяции, иначе говоря, получено в некотором смысле граничное множество. Участники научного коллектива исследовали одномерную задачу об описании точек ограниченной радиальной вариации для граничных значений типа канторовского множества в терминах порождающей последовательности. В 1993 году Бургейн показал, что множество точек конечной вертикальной вариации положительной гармонической функции в верхней полуплоскости имеет полную размерность, тем самым ответив на известный вопрос Рудина (1955). Эти результаты были обобщены членами научного коллектива на области в $R^n$ (они применяются в работах Джонса и Мюллера, и Мюллера и Риглер, посвященных гипотезе Андерсона). Была рассмотрена конкретная, довольно сложно устроенная, граничная функция $f$ (гармоническое продолжение которой и есть $u$) и предъявлены явные условия для конечности вертикальной вариации. В ходе работы решена нелинейная задача Римана-Гильберта при помощи обобщения $\\bar{\\partial}$-подхода Итса-Тахтаджяна. Проведено исследование диагональных сужений ядра Бергмана, соответствующих корреляционным ядрам для случайных матриц. Получено асимптотическое разложение ортогональных многочленов для пространств Бергмана с весом $e^{-2mQ}$, где $Q$ - удерживающий двумерный потенциал. Получено условие нейтральности на фоновые заряды с использованием обобщения теоремы Гаусса-Бонне на плоские метрики с коническими особенностями в отмеченных точках. Исследованы представляющие семейства воспроизводящих ядер в пространствах аналитических функций в круге. Решена одномерная задача об описании точек ограниченной радиальной вариации для граничных значений типа канторовского множества в терминах порождающей последовательности.

Внедрение результатов исследования:

Были получены результаты исследований в области принципа неопределенности в задачах цветокоррекции, проведенные на базе совместной лаборатории СПбГУ-Хуавей: исследовались преобразования между цветовыми пространствами RGB И XYZ, предложены несколько типов таких преобразований, а также варианты функции цены и алгоритмы для нахождения ее глобального минимума с проверкой на массиве реальных данных. Область использования: задачи поиска алгоритмов линейных преобразований с заданными ограничениями, пересчета таблиц цветов с дифференциацией различных цветовых параметров.

Образование и переподготовка кадров:

• Организованы и проведены следующие научные мероприятия: конференции «Complex and Harmonic Analysis and Its Applications» (Санкт-Петербург, 23-26 ноября 2021 г.), «Probabilistic Techniques in Analysis: Spaces of Holomorphic functions» (Сочи, 06-10 декабря 2021 г.), «Probabilistic Techniques in Analysis: Reproducing kernel Hilbert spaces» (Сочи, 20-25 октября 2022).

• Лабораторией проводится семинар по вероятности, гармоническому и комплексному анализу https://math-cs.spbu.ru/pta-seminar/

Сотрудничество:

• Математический центр «Сириус» (Россия): совместное проведение конференций.

• Санкт-Петербургский международный математический институт имени Леонарда Эйлера (Россия): участие сотрудников института в конференциях и семинаре, организовываемых лабораторией.