Мы используем cookie файлы.
Пользуясь сайтом, вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Лаборатория «Нелинейные и нелокальные задачи для уравнений в частных производных и их приложения»

Куксин Сергей Борисович Россия, Франция
Номер договора
075-15-2022-1115
Период реализации проекта
2022-2024
Общая информация
Название проекта:

Нелинейные и нелокальные уравнения и их приложения
Цели и задачи

Цель проекта:

  1. Изучение волновой турбулентности, описываемой кубическим уравнением Шрёдингера с добавленной диссипацией и случайной силой на торе большого периода;
  2. Исследование теплопереноса в кристаллах;
  3. Изучение волновых кинетических уравнений;
  4. Исследование волновой турбулентности, описываемой уравнениями типа Больцмана;
  5. Исследование кинетики высокотемпературной плазмы в термоядерном реакторе и получение условий удержания плазмы;
  6. Численное моделирование течения плазмы в пробочной ловушке с учетом внешнего магнитного поля;
  7. Исследование биологических и биомедицинских задач включая модели вирусной инфекции в математической иммунологии и эпидемиологии методами качественной теории уравнений реакции-диффузии и их математического моделирования;
  8. Исследование разрешимости и гладкости обобщенных решений нелокальных краевых задач.
Задачи проекта:

  • Изучение поведения решений кубического уравнения Шрёдингера с добавленной диссипацией и случайной силой на торе большого периода, в пределе волновой турбулентности. То есть, когда амплитуда решения стремится к нулю, а его пространственный период – к бесконечности. В частности,
(1) изучение поведения при этом пределе энергетических спектров решений, образованных вторыми моментами их коэффициентов Фурье;
(2) изучение стабилизации с ростом времени вероятностных характеристик решений к статистическому равновесию, и стабилизацию их энергетических спектров к универсальному пределу;

  • Изучение возможности распространения результатов пунктов (1) и (2) на уравнения теплопереноса в кристаллических решётках; 3 систематическое исследование математической структуры основных кинетических моделей волновой турбулентности, особенно в их сравнении с уравнениями кинетической теории газов;
  • Анализ долговременного предела уравнений типа Больцмана, отвечающих волновой турбулентности, если интерпретировать коэффициенты Фурье решений уравнений волновой турбулентности как квазичастицы;
  • Изучение качественных свойств классических и обобщенных решений смешанных задач для системы уравнений Власова-Пуассона с внешним магнитным полем, связанных с проблемой удержания высокотемпературной плазмы в термоядерном реакторе;
  • Разработка тестов для верификации алгоритмов решения системы уравнений Власова-Пуассона на основе новых аналитических и качественных решений; проведение вычислительных экспериментов процессов в облучаемом материале и пристеночной плазме при импульсном нагреве, а также процессов течения плазмы в осесимметричном магнитном поле, направленном вдоль оси ловушки, при наличии периодической модуляции напряженности магнитного поля; сравнение полученных результатов численных расчетов с новыми экспериментальными данными, полученными в ИЯФ СО РАН им. Г.И.Будкера;
  • Исследование уравнения и системы уравнений реакции-диффузии с точки зрения существования и устойчивости частных типов решений, таких как бегущие волны, стоячие или движущиеся импульсы, на основе методов линейного и нелинейного анализа. Применение математических результатов и методы численного моделирования к исследованию биологических и биомедицинских задач, включая модели вирусной инфекции в математической иммунологии и эпидемиологии.
Направления исследований: Математика

Практическое значение исследования
Планируемые результаты проекта:

  1. Доказательство близости малоамплитудных решений кубического уравнения Шрёдингера с диссипацией и случайной силой, рассматриваемого на торе большого периода, к квазирешениям.
  2. Доказательство общей теоремы о перемешивании для нелинейных УрЧП с диссипацией и случайной силой с целью изучения асимптотического по времени поведения решений кубического уравнения Шрёдингера с диссипацией и случайной силой.
  3. Вывод уравнения типа Больцмана для нелинейных волн в виде уравнения баланса, включающего поток энергии, ответ на вопрос существует ли его вариационная формулировка, аналогичная Н-теореме Больцмана для уравнения баланса.
  4. Доказательство существования стационарных решений с ненулевым потенциалом и компактным носителем функций распределения для системы Власова-Пуассона с внешним магнитным полем и доказательство теорем и устойчивости стационарных решений.
  5. Разработка системы тестов, направленных непосредственно на выявление и подтверждение доказанных свойств решений системы уравнений Власова-Пуассона, а также разработка и реализация новых математических моделей для исследования динамики процессов в облучаемом материале и пристеночной плазме при импульсном нагреве; разработка новых математических моделей течения плазмы в осесимметричном магнитном поле, направленном вдоль оси ловушки, при наличии периодической модуляции напряженности.
  6. Исследование существования и устойчивости волн реакции-диффузии, описывающих распространение вирусной инфекции в культурах клеток и тканях, на основе анализа полулинейных эллиптических задач в неограниченных областях.
  7. Доказательство теоремы о разрешимости и гладкости обобщенных решений нелокальных краевых эллиптических задач и краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений.
Скрыть Показать полностью
Другие лаборатории и ученые
Лаборатория, принимающая организация
Область наук
Город
Приглашенный ученый
Период реализации проекта
Лаборатория «Вероятностные методы в анализе» (10)

Санкт-Петербургский государственный университет - (СПбГУ)

Математика

Санкт-Петербург

Хеденмальм Хокан Пер

Швеция

2024-2028

Лаборатория «Вероятностные методы в анализе»

Санкт-Петербургский государственный университет - (СПбГУ)

Математика

Санкт-Петербург

Хеденмальм Хокан Пер

Швеция

2021-2023

Лаборатория междисциплинарных проблем энергетики

Ульяновский государственный технический университет - (УлГТУ)

Математика

Ульяновск

Симос Теодор Елиас

Греция

Ковальногов Владислав Николаевич

Россия

2021-2023