Международная научно-исследовательская лаборатория дискретной и вычислительной геометрии им. Б. Н. Делоне

Научные результаты:

• Решен ряд признанно трудных задач в области геометрии и топологии. Разработана идеология применения алгебро-топологических методов к задачам обработки изображений. На основе этой идеологии удалось применить топологические методы к задачам сегментации и классификации медицинских изображений и генерализации векторных картографических изображений.

• Созданы новый алгоритм генерализации картографических данных, сохраняющий их топологические свойства, новые алгоритмы и методы классификации и сегментации изображений, получаемых при гастроэндоскопическом обследовании.

• Разработан программный комплекс, ориентированный на применение в современной школе и позволяющий не только выполнять все необходимые операции по разработке стереометрических моделей, но и автоматически формировать макеты для печати на 3D-принтере.

• С помощью асимптотических и численных методов исследовано уравнение Колмогорова–Петровского–Пискунова с запаздыванием (КПП с запаздыванием), описывающее распространение волн концентрации в активной среде. Изучены локальные свойства решений, выполнен численный анализ процесса распространения волны от одного и от двух начальных возмущений. Обнаружена возникающая при распространении и взаимодействии волн сложная пространственно-неоднородная структура, дано объяснение ее свойств.

• Рассмотрены специальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений – так называемые полносвязные сети нелинейных осцилляторов. Для этого класса систем предложены новые методы, позволяющие разобраться с вопросами о существовании и устойчивости периодических режимов двухкластерной синхронизации. На основе этих методов найдены режимы двухкластерной синхронизации для двух важных прикладных примеров.

• Предложено и обосновано новое определение бесконечномерного тора, основное преимущество которого состоит в том, что в его рамках тор является аналитическим банаховым многообразием с финслеровой метрикой. Это позволяет для произвольного диффеоморфизма определить обычным образом понятие гиперболичности. Введен новый класс диффеоморфизмов тора и для отображений из этого класса разработан критерий гиперболичности, который является новым не только в бесконечномерном, но и в конечномерном случае.

Внедрение результатов исследования:

• Новые алгоритмы классификации и сегментации гастроэндоскопических изображений разработаны для автоматизации диагностики онкологических заболеваний желудочно-кишечного тракта.

• Редактор стереометрических моделей с возможностью 3D-печати нацелен на развитие пространственной интуиции школьников.

• Новые алгоритмы картографической генерализации разрабатываются для улучшения качества представления информации в современных электронных картах.

Образование и переподготовка кадров:

• Организованы две летние математические школы для повышения квалификации студентов, аспирантов и молодых ученых.

• Проведена Международная интерактивная выставка «IMAGINARY глазами математики» (2013 г.).

• Ведется активная работа со школьниками. Сотрудники лаборатории принимают участие в организации и проведении выставок, проводят занятия, олимпиады для школьников по математике, читают популярные лекции.

Организационные и инфраструктурные преобразования:

Создан вычислительный кластер, используемый в настоящее время многими подразделениями ЯрГУ.

Сотрудничество:

• Австрийский институт наук и технологий (Австрия), Техасский университет в Браунсвилле (США), Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, МГУ имени М.В. Ломоносова (Россия): совместные научные конференции и публикации.

• Брюссельский свободный университет (Бельгия): совместные исследования и публикации.