Научные результаты:
- Операторы кривизны явно вычислены и подробно изучены для многомерных контактных субримановых многообразий.
- Получена формула площади отображений-графиков на пятимерных сублоренцевых структурах с двумя «отрицательными» направлениями разной степени.
- Предложены универсальные методы поиска нормальных геодезических на группах Ли с левоинвариантной (суб)римановой метрикой.
- Исследована задача минимизации функционала энергии на новом классе отображений сравнительно с классами, исследуемыми ранее.
- В классе осесимметричных пространственных течений доказана разрешимость краевой задачи для стационарной системы уравнений Навье-Стокса в неограниченных (внешних) областях с неоднородными граничными данными, при отсутствии традиционных предположений о малости потоков жидкости через компоненты границы. Полностью (в осесимметричном случае) решена проблема, которая оставалась открытой свыше 80 лет (начиная со знаменитой публикации Ж.Лерэ 1933 г.
- Разработан оригинальный метод лифтинга векторных полей, позволяющий получить как новые результаты, так и существенно упрощённые доказательства существующих.
- Получено описание изоморфных операторов композиции классов Соболева на пространствах Карно-Каратеодори.
- Получены необходимые и достаточные условия, при которых гомеоморфизм областей в евклидовом пространстве порождает ограниченный оператор вложения пространств Орлича–Соболева, определенных специальным классом N-функций.
- Изучена структура экстремалей в задаче поиска светового конуса в сублоренцевой геометрии на группе Энгеля.
- Найдены основные геометрические объекты для всех групп Ли, локально изометрично накрывающих группу Ли SO_2(2,1) с левоинвариантной субримановой метрикой, инвариантной относительно правых сдвигов на элементы подгруппы SO(2). Эти результаты выражены в терминах матричных элементов соответствующих групп Ли.
- Изучаются метрические свойства измеримых отображений на группе Карно, индуцирующих по правилу замены переменной изоморфизмы пространств Соболева. Доказано, что такое отображение можно переопределить на множестве меры нуль так, что оно будет либо квазиконформным, когда показатель суммируемости совпадает с хаусдорфовой размерностью группы, либо квазиизометрическим, когда показатель суммируемости отличен от хаусдорфовой размерности группы.
- Для класса пространственноподобных поверхностей-графиков на двуступенчатых четырехмерных сублоренцевых структурах установлена формула площади, а также получены описания базовых свойств максимальных поверхностей, в том числе, и в терминах сублоренцевой средней кривизны.
- Доказано, что условия (q1,1)- и (1, q2)-квазиметричности функции расстояния являются достаточными для существования 1-квазиметрики, билипшицево ей эквивалентной. Доказано существование (q1, q2)-квазиметрик, для которых не существует 1-квазиметрик, липшицево им эквивалентных, откуда, в частности, вытекает другое доказательство известного результата В. Шредера. Доказана теорема регуляризации (q1, q2)-квазиметрик, обобщающая результаты соответствующие результаты R.A. Masias, C. Segovia и R. Alvarado, M. Mitrea. Изучены аксиомы отделимости на lim-слабо симметрических (q1, q2)-квазиметрических пространствах.
- Установлена формула площади для классов гёльдеровых отображений групп Карно. Основным инструментом исследования является введенное автором понятие полиномиальной субримановой дифференцируемости.
- Дано исчерпывающее описание граничных значений конформных отображений плоских конечносвязных областей в терминах конформных модулей (экстремальных длин) пар граничных компонент рассматриваемой области в том случае, когда связность ее меньше либо равна 3.
Организационные и инфраструктурные преобразования:
На базе лаборатории создан региональный математический центр при Новосибирском государственном университете (см. сайт https://rmc.nsu.ru/). Центр создан по инициативе механико-математического факультета НГУ и С.К. Водопьянова в соответствии с проектом Минобрнауки по созданию региональных научно-образовательных математических центров, инициированного пунктом 31 Стратегии научно-технологического развития Российской Федерации, утвержденной Президентом Российской Федерации 1 декабря 2016 г. № 642.
Проведенные исследования и установленные международные и российские научные контакты в значительной степени повлияли на создание Регионального математического центра НГУ, с основной научной группой по геометрической теории управления и геометрическому анализу под руководством С.К. Водопьянова. С ведущим ученым А.А. Аграчевым и другими учеными, вовлеченными в деятельность лаборатории, до сих пор ведется активное взаимодействие. В настоящее время сотрудничество направлено на научно-учебные цели – при поддержке РМЦ проводятся курсы лекций и научные семинары для студентов и молодых ученых.
Образование и переподготовка кадров:
Лабораторией был разработан и внедрен учебный курс «Теория оптимального управления» для студентов 4 курса ММФ НГУ;
Проведены 2 научных школы:
- «Школа-семинар по динамическим системам, геометрии и теории управления на озере Байкал» (2015)
- «Геометрическая теория управления и анализ на метрических структурах» (2014)
и 22 научных семинара:
-
«Субриманова геометрия и геометрическая теория управления» (С.К. Водопьянов),
- «Стохастическое уравнение Бюргерса» (С.Б. Куксин),
- «Введение в выпуклый и многозначный анализ. Принцип Лагранжа в теории экстремума» (А.В. Арутюнов),
- «Введение в теорию оптимального управления» (А.В. Сарычев),
- «Фредгольмовость и компактность в некоторых вариационных задачах» (А. Барри),
- «Особенности в геометрии и теории управления» (А.О. Ремизов),
- «Кратчайшие и расстояния для специальных левоинвариантных субримановых метрик на SO(3) и SO(2, 1)» (В.Н. Берестовский),
- «Геометрия мер на пространствах конфигураций» (А. И. Буфетов),
- «Введение в теорию управления квантовыми системами» (А. Н. Печень),
- «Лагранжева и гамильтонова механика на многообразиях» (И.А. Богаевский),
- «Динамика потоков Риба и симплектическая жесткость» (А. Аббондандоло),
- «Особые траектории в теории оптимального управления» (Л.В. Локуциевский),
- «Дифференциально-геометрические свойства комплексных аналитических множеств» (А.К. Цих),
- «Управление и перемешивание для нелинейных уравнений» (А.Р. Ширикян),
- «Научная сессия лаборатории геометрической теории управления»
- «Диффузия на субримановых многообразиях» (У. Боскаин),
- «Неравенства, связывающие кривизну и размерность, в субримановой геометрии и их приложения» (Н. Гарофало);
- «По ту сторону абсолюта гиперболических пространств (Аксиомы инцидентности для границы на бесконечности комплексных гиперболических пространств)» (С.В. Буяло),
- «Метрические свойства линий уровня дифференцируемых отображений на группах Карно» (А. Кожевников),
- «Теория гипоэллиптических и условно гипоэллиптических дифференциальных операторов» (В.И. Буренков),
- «Особые экстремали в задачах с многомерным управлением» (Л.В. Локуциевский),
- «Движение робота» (Ж.-П. Ломонд).
В лаборатории прошли профессиональную переподготовку или повышение квалификации 39 молодых ученых из Новосибирского, Алтайского, Горно-Алтайского государственных университетов, Новосибирского государственного технического университета, МИ АН, ИДТСТУ СО РАН, Технического университета Эйндховена (Нидерланды) и LATP (Франция);
Подготовлены 8 кандидатов и 1 доктор наук.
Сотрудничество:
- The International School for Advanced Studies (SISSA) Trieste, Italy - Стажировки молодых ученых
- Geometric Control Design Centre de Mathématiques Appliquées, Ecole Polytechnique, France - Совместные исследования; Стажировки молодых ученых
- Steklov Mathematical Institute of RAS Moscow, Russia - Совместные научные мероприятия
- Control Processes Research Center Program System Institute, Pereslavl, Russia - Совместные научные мероприятия
- Горно-Алтайский государственный университет, Горно-Алтайск, Россия - Совместные научные мероприятия
