Лаборатория компьютерной геометрии и квантовой топологии

1. Обнаружена тесная, до сих пор неизвестная, связь между инвариантами Дейкраафа-Виттена и Арф-инвариантами билинейных форм, отвечающих специальным квадратичным формам на первых группах когомологий рассматриваемых многообразий. 
   
2. Разработан метод вычисления инвариантов Дейкраафа-Виттена над полем порядка 2 для ориентируемых многообразий Зейферта с ориентируемыми базами. 
3. С помощью специально построенного семейства инвариантов типа Тураева-Виро найдены точные значения сложности для нескольких бесконечных серий трёхмерных многообразий. 
4. Классифицированы и табулированы все узлы в утолщенном торе и утолщенной бутылке Клейна малой сложности. Эта классификация стала возможной благодаря открытию сотрудниками лаборатории новых квантовых инвариантов типа скобки Кауффмана для узлов в утолщенных поверхностях. 
5. Разработан метод построения новых топологических SU-инвариантов виртуальных узлов, являющихся аналогами полинома ХОМФЛИ классических узлов. 
6. С помощью явного вычисления значений инварианта Кассона-Волкера-Лескоп получена полная классификация бесконечного семейства трёхмерных многообразий, получающихся в результате рациональных перестроек трёхмерной сферы вдоль нескольких зацеплений специального вида. 
7. Найдено несколько новых семейств операторов Янга – Бакстера на двумерном векторном пространстве, построены соответствующие им инварианты классических узлов и зацеплений. 
8. Обнаружена связь между нотоидами на двумерной сфере и узлами в утолщенных поверхностях. С её помощью удалось получить полную классификацию примарных нотоидов, диаграммная сложность которых не превосходит пяти. 
9. Доказано, что диаграммная сложность каждого нотоида не меньше его удвоенной высоты. Это позволило получить новые нижние оценки диаграммной сложности нотоидов, которые оказываются точными. 
10. Разработан и реализован подход для построения полиномиальных инвариантов для узлов и зацеплений в утолщениях неориентируемых поверхностей. Этот подход позволяет строить инварианты в том числе и для узлов в неориентируемых многообразиях. 
11. Построено новое семейство квантовых инвариантов для трёхмерных многообразий.

Внедрение результатов исследования:

• Создан и зарегистрирован «Атлас трехмерных многообразий», представляющий собой базу данных трехмерных многообразий и их характеристик (сложность, значения инвариантов, тип геометрии, графические структуры, общепринятые наименования).

• Создана и зарегистрирована программа для ЭВМ «Одновершинные спайны трехмерных многообразий», предназначенная для построения двумерных полиэдров специального вида (одновершинных спайнов), задающих трехмерные многообразия.

• Создана и зарегистрирована программа для ЭВМ «HOMFLY-calculator», предназначенная для вычисления значений классического полинома ХОМФЛИ рациональных узлов.

Образование и переподготовка кадров:

• Созданы и внедрены в образовательный процесс 14 новых образовательных программ: «Дополнительные главы топологии (часть I)», «Классификация 3-многообразий», «Классификация многообразий Зейферта и вычисление их квантовых инвариантов», «Маломерная топология», «Квантовая топология», «Вычислительная топология», «Теория графов», «Теория гомологий», «Теория сложности геометрических объектов», «Теория узлов», «Алгебраическая топология», «Алгоритмы на графах», «Квантовые и полиномиальные инварианты узлов», «Теория одновершинных спайнов».

• Защиты: 11 кандидатских диссертаций.

• Проведены 8 научных конференций по направлению научного исследования.

• Приняты в аспирантуру и докторантуру по направлению научного исследования 7 членов научного коллектива.

Организационные и инфраструктурные преобразования:

В 2017 году Научно-исследовательская лаборатория квантовой топологии была объединена с лабораторией компьютерной геометрии в новую учебно-научную лабораторию компьютерной геометрии и квантовой топологии. Новая лаборатория продолжает научные исследования в областях квантовой топологии и компьютерной геометрии при финансовой поддержке РНФ и РФФИ.