Мы используем cookie файлы.
Пользуясь сайтом, вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Номер договора
14.641.31.0001
Период реализации проекта
2017-2021
Заведующий лабораторией

По данным на 01.11.2022

19
Количество специалистов
136
научных публикаций
Общая информация

Многие новые категорные структуры были открыты физиками в последние несколько лет. Очевидно, что язык высших категорий великолепно подходит для описания краеугольных концепций в современной теоретической физике. Все это привело к разделению многих областей математики на категории. Отправной точкой исследований лаборатории является гомологическая зеркальная симметрия. Гомологическая зеркальная симметрия служит в настоящее время основой для широкого спектра совершенно новых исследований в математике, продвигаемых и постоянно обновляемых многими учеными. Одним из основных недостатков богатого, но очень технически сложного метода гомологической зеркальной симметрии являлся недостаток приложений. Ориентируясь именно на приложения ученые лаборатории планируют развить недостающее звено — геометризацию теории категорий, основанную на взаимодействии с математической физикой.

Название проекта: Зеркальная симметрия и автоморфные формы

Цели и задачи

Направления исследований: Математика, зеркальная симметрия и автоморфные формы

Цель проекта:

  • Объединение усилий специалистов из различных областей, таких как геометрия, топология, теория автоморфных форм и алгебр Ли, теория чисел, математическая физика для решения основных теоретических задач математики и физики, связанных с зеркальной симметрией. Изучение категорных, геометрических, арифметических и автоморфных аспектов гомологической зеркальной симметрии;
  • Получение принципиально новых приложений в категорной кэлеровой геометрии, к геометрическим проблемам рациональности, в теории автоморфных форм и теории лоренцевых алгебр Каца-Муди;
  • Геометризация теории категорий, а его исходная точка — гипотеза гомологической зеркальной симметрии, сформулированная Максимом Концевичем.
Практическое значение исследования

Научные результаты:

  • Категорная, алгебраическая и кэлеровая геометрия

Созданы основы теории спектров (или спектральных сетей), которая является новым категорным обобщением классической теории исчезающих циклов. Построена новая теория ходжева типа — теория Ходжа расширений, которая связывает классическую теорию уравнений в частных производных с теорией категорий.

Предложен новый подход к смешанной неабелевой теории Ходжа с категорной точки зрения.

Продолжается успешная работа над решением проблемы о нерациональности общей четырехмерной кубики. Последняя проблема имеет столетнюю историю. Для ее решения ведется построение принципиально новой теории спектров, которая даст трактовку теории моделей Ландау-Гинзбурга как обобщенной теории особенностей. Планируется доказать, что спектр Громова-Виттена, то есть категорный спектр, является бирациональным инвариантом. Результаты в данном направлении будут иметь исключительно важные приложения в геометрии, математической физике и теоретической физике.

Доказана гипотеза М. Концевича о том, что производная категория когерентных пучков на отделимой схеме конечного типа над полем характеристики нуль является гомотопически конечной.

Доказана гипотеза гомологической зеркальной симметрии для трехмерного проективного пространства.

Доказана гипотеза Кацаркова–Концевича–Пантева, связывающая числа Ходжа многообразия Фано и числа Ходжа его модели Ландау–Гинзбурга, в размерности 2 и 3. Установлена связь данной гипотезы с P = W гипотезой, которая лежит в основе современной интерпретации геометрической программы Ленглендса.

Инициирован новый подход к доказательству гипотезы гомологической зеркальной симметрии для многообразий общего типа.

Дано доказательство существования торических моделей Ландау–Гинзбурга для трехмерного случая и для случая полных пересечений. Получено описание производных категорий расслоений на гиперповерхности произвольной степени, построены группы гомологий тропических многообразий.

  • Автоморфные формы и их приложения

Построены теории модулярных тета-блоков и рефлективных автоморфных форм, получены важные приложения к теории модулей поляризованных гиперкэлеровых многообразий и поляризованных поверхностей Куммера.

Дана полная классификация лоренцевых алгебр Каца-Муди с группой Вейля, порожденной всеми 2-отражениями.

Доказана гипотеза арифметической зеркальной симметрии для широкого класса K3 поверхностей.

Дано решение проблемы Йошикава (2000) о явном описании лоренцeвых алгебр Каца–Муди, построенных по аналитическим кручениям поверхностями дель Пеццо.

В терминах автоморфных форм дан ответ на давний вопрос Френкеля–Фейнгольда (1982) о возможной взаимосвязи между функциями знаменателя Каца–Вейля аффинных и гиперболических алгебр Каца–Муди.

Получены автоморфные подтверждения двухмерного аналога знаменитой гипотезы Шимуры–Таниямы (гипотезы Брамера–Крeймер о модулярности абелевых поверхностей).

Доказана гипотеза Родригеса–Виллегаса (2003) о существовании суперсравнений для 14 жестких гипергеометрических многообразий Калаби–Яу размерности 3 над Q.

Найдено выражение значений дзета-функции Дедекинда как периодов вещественных автоморфных форм по вещественным циклам Хегнера и следующие из этого рациональность и конгруэнц-свойства этих дзета-значений.

Получены новые нижние оценки для больших промежутков между суммами двух квадратов.

Внедрение результатов исследования:

Исследования имеют важное мультидисциплинарное значение в рамках теоретической математики (кэлерова, алгебраическая и дифференциальная геометрии, теория бесконечномерных алгебр Ли, теория автоморфных форм, теория чисел) и современной теоретической физики (квантовая теория поля, квантовая гравитация, теория струн).

Образование и переподготовка кадров:

Сотрудники лаборатории за 6 лет защитили 4 докторские и 5 кандидатских диссертаций, прочитали более 60 авторских курсов лекций. 135 молодых ученых, специалистов и преподавателей прошли профессиональную переподготовку (повышение квалификации) в лаборатории по направлению научного исследования. Ежегодно лаборатория проводит летнюю студенческую школу по геометрии в Новосибирске, студенческие школы также проводились в Санкт-Петербурге (2017 г.) и на базе Учебного Центра НИУ ВШЭ в Вороново (2019 г.).

Другие результаты:

  • Научный сотрудник лаборатории А.И. Ефимов в 2017 году получил золотую медаль Российской академии наук с премией для молодых ученых России за цикл работ «Производные категории и циклические гомологии», в 2020 году ему присуждена премия Европейского Математического Общества.
  • Заместителю заведующего лабораторией В.В. Пржиялковскому в 2019 году присуждены премия Правительства Москвы и грант Президента Российской Федерации для молодых ученых России.
  • Сотрудники Лаборатории В. Гриценко и А. Левин возглавили совместный франко-российский грант ANR-РНФ «Симметрии и пространства модулей в алгебраической геометрии и физике» на 2021-2023 годы.  Уникальность данного успеха в том, что сотрудники Международной лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм возглавляют обе части гранта: В. Гриценко руководит французской командой, а А. Левин — российской. Грант охватывает исследования в области математики и физики. Бюджет на 2021-2023 годы: РНФ – 6 000 000 руб. в год, ANR – 700 000 евро на три года.

Сотрудничество:

  • Новосибирский государственный университет, Математический центр в Академгородке, Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук (Россия): совместные международные конференции, ежегодная совместная летняя студенческая школа «Текущие достижения в геометрии», совместные исследования.
  • Institut des Hautes Études Scientifiques (Франция): совместные научные исследования.
  • Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук (Россия): совместные международные конференции, научные семинары, исследования.
  • The Institute of the Mathematical Sciences of the Americas at the University of Miami (США): совместные научные семинары, воркшопы, конференции.
  • International Center for Mathematical Sciences – Sofia – Bulgarian Academy of Sciences (Болгария): совместные международные научные конференции в Болгарии и России, научный обмен.
Скрыть Показать полностью
Haiden F., Katzarkov L., Kontsevich M.
Flat Surfaces and Stability Structures. Publications math´ematiques de l’IHES 126(1): 247–318 (2017)
Dimitrov G., Katzarkov L.
Some new categorical invariants // Selecta Mathematica, New Series. 2019. Vol. 25:45. P. 1-60.
Katzarkov L., Pandit P., Spaide T.
Calabi-Yau structures, spherical functors, and shifted symplectic structures // Advances in Mathematics. 2021. Vol. 392
Gritsenkо V.
Reflective modular forms and applications // Russian Math. Surveys. 2018. Vol. 73:5. P. 797-864.
Efimov A.
Categorical smooth compactifications and generalized Hodge-to-de Rham degeneration // Inventiones Mathematicae. 2020. Vol. 222. No. 2. P. 667-694.
Efimov A.
Homotopy finiteness of some DG categories from algebraic geometry // Journal of the European Mathematical Society. 2020. Vol. 22. No. 9. P. 2879-2942.
Przyjalkowski V.
Toric Landau–Ginzburg models // Russian Math. Surveys. 2018. Vol. 73:6. P. 1033–1118.
Kondyrev G., Prikhodko A.
Equivariant Grothendieck–Riemann–Roch theorem via formal deformation theory // Cambridge Journal of Mathematics. 2021. Vol. 9. No. 4. P. 809-899.
Dietmann R., Elsholtz C., Kalmynin A., Maynard J., Konyagin S.
Longer Gaps Between Values of Binary Quadratic Forms // International Mathematics Research Notices. 2022. Vol. 2022. P. 1-26.
V. Gritsenko, V. Spiridonov
Partition Functions and Automorphic Forms. Springer Publishing Company, 2020. 415 pp., монография, https://doi.org/10.1007/ 978-3-030-42400-8_2
Медиа
Четверг , 26.12.2019
Другие лаборатории и ученые
Лаборатория, принимающая организация
Область наук
Город
Приглашенный ученый
Период реализации проекта
Лаборатория «Вероятностные методы в анализе» (10)

Санкт-Петербургский государственный университет - (СПбГУ)

Математика

Санкт-Петербург

Хеденмальм Хокан Пер

Швеция

2024-2028

Лаборатория «Нелинейные и нелокальные задачи для уравнений в частных производных и их приложения»

Российский университет дружбы народов - (РУДН)

Математика

Москва

Куксин Сергей Борисович

Россия, Франция

2022-2024

Лаборатория «Вероятностные методы в анализе»

Санкт-Петербургский государственный университет - (СПбГУ)

Математика

Санкт-Петербург

Хеденмальм Хокан Пер

Швеция

2021-2023