Международная лаборатория зеркальной симметрии и автоморфных форм

Научные результаты:

• Категорная, алгебраическая и кэлеровая геометрия

Созданы основы теории спектров (или спектральных сетей), которая является новым категорным обобщением классической теории исчезающих циклов. Построена новая теория ходжева типа — теория Ходжа расширений, которая связывает классическую теорию уравнений в частных производных с теорией категорий.

Предложен новый подход к смешанной неабелевой теории Ходжа с категорной точки зрения.

Продолжается успешная работа над решением проблемы о нерациональности общей четырехмерной кубики. Последняя проблема имеет столетнюю историю. Для ее решения ведется построение принципиально новой теории спектров, которая даст трактовку теории моделей Ландау-Гинзбурга как обобщенной теории особенностей. Планируется доказать, что спектр Громова-Виттена, то есть категорный спектр, является бирациональным инвариантом. Результаты в данном направлении будут иметь исключительно важные приложения в геометрии, математической физике и теоретической физике.

Доказана гипотеза М. Концевича о том, что производная категория когерентных пучков на отделимой схеме конечного типа над полем характеристики нуль является гомотопически конечной.

Доказана гипотеза гомологической зеркальной симметрии для трехмерного проективного пространства.

Доказана гипотеза Кацаркова–Концевича–Пантева, связывающая числа Ходжа многообразия Фано и числа Ходжа его модели Ландау–Гинзбурга, в размерности 2 и 3. Установлена связь данной гипотезы с P = W гипотезой, которая лежит в основе современной интерпретации геометрической программы Ленглендса.

Инициирован новый подход к доказательству гипотезы гомологической зеркальной симметрии для многообразий общего типа.

Дано доказательство существования торических моделей Ландау–Гинзбурга для трехмерного случая и для случая полных пересечений. Получено описание производных категорий расслоений на гиперповерхности произвольной степени, построены группы гомологий тропических многообразий.

• Автоморфные формы и их приложения

Построены теории модулярных тета-блоков и рефлективных автоморфных форм, получены важные приложения к теории модулей поляризованных гиперкэлеровых многообразий и поляризованных поверхностей Куммера.

Дана полная классификация лоренцевых алгебр Каца-Муди с группой Вейля, порожденной всеми 2-отражениями.

Доказана гипотеза арифметической зеркальной симметрии для широкого класса K3 поверхностей.

Дано решение проблемы Йошикава (2000) о явном описании лоренцeвых алгебр Каца–Муди, построенных по аналитическим кручениям поверхностями дель Пеццо.

В терминах автоморфных форм дан ответ на давний вопрос Френкеля–Фейнгольда (1982) о возможной взаимосвязи между функциями знаменателя Каца–Вейля аффинных и гиперболических алгебр Каца–Муди.

Получены автоморфные подтверждения двухмерного аналога знаменитой гипотезы Шимуры–Таниямы (гипотезы Брамера–Крeймер о модулярности абелевых поверхностей).

Доказана гипотеза Родригеса–Виллегаса (2003) о существовании суперсравнений для 14 жестких гипергеометрических многообразий Калаби–Яу размерности 3 над Q.

Найдено выражение значений дзета-функции Дедекинда как периодов вещественных автоморфных форм по вещественным циклам Хегнера и следующие из этого рациональность и конгруэнц-свойства этих дзета-значений.

Получены новые нижние оценки для больших промежутков между суммами двух квадратов.

Внедрение результатов исследования:

Исследования имеют важное мультидисциплинарное значение в рамках теоретической математики (кэлерова, алгебраическая и дифференциальная геометрии, теория бесконечномерных алгебр Ли, теория автоморфных форм, теория чисел) и современной теоретической физики (квантовая теория поля, квантовая гравитация, теория струн).

Образование и переподготовка кадров:

Сотрудники лаборатории за 6 лет защитили 4 докторские и 5 кандидатских диссертаций, прочитали более 60 авторских курсов лекций. 135 молодых ученых, специалистов и преподавателей прошли профессиональную переподготовку (повышение квалификации) в лаборатории по направлению научного исследования. Ежегодно лаборатория проводит летнюю студенческую школу по геометрии в Новосибирске, студенческие школы также проводились в Санкт-Петербурге (2017 г.) и на базе Учебного Центра НИУ ВШЭ в Вороново (2019 г.).

Другие результаты:

• Научный сотрудник лаборатории А.И. Ефимов в 2017 году получил золотую медаль Российской академии наук с премией для молодых ученых России за цикл работ «Производные категории и циклические гомологии», в 2020 году ему присуждена премия Европейского Математического Общества.
• Заместителю заведующего лабораторией В.В. Пржиялковскому в 2019 году присуждены премия Правительства Москвы и грант Президента Российской Федерации для молодых ученых России.
• Сотрудники Лаборатории В. Гриценко и А. Левин возглавили совместный франко-российский грант ANR-РНФ «Симметрии и пространства модулей в алгебраической геометрии и физике» на 2021-2023 годы.  Уникальность данного успеха в том, что сотрудники Международной лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм возглавляют обе части гранта: В. Гриценко руководит французской командой, а А. Левин — российской. Грант охватывает исследования в области математики и физики. Бюджет на 2021-2023 годы: РНФ – 6 000 000 руб. в год, ANR – 700 000 евро на три года.

Сотрудничество:

• Новосибирский государственный университет, Математический центр в Академгородке, Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук (Россия): совместные международные конференции, ежегодная совместная летняя студенческая школа «Текущие достижения в геометрии», совместные исследования.
• Institut des Hautes Études Scientifiques (Франция): совместные научные исследования.
• Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук (Россия): совместные международные конференции, научные семинары, исследования.
• The Institute of the Mathematical Sciences of the Americas at the University of Miami (США): совместные научные семинары, воркшопы, конференции.
• International Center for Mathematical Sciences – Sofia – Bulgarian Academy of Sciences (Болгария): совместные международные научные конференции в Болгарии и России, научный обмен.