Международная лаборатория зеркальной симметрии и автоморфных форм

Научные результаты:

• Категорная, алгебраическая и кэлеровая геометрия
• Созданы основы теории спектров (или спектральных сетей), которая является новым категорным обобщением классической теории исчезающих циклов. Построена новая теория ходжева типа — теория Ходжа расширений, которая связывает классическую теорию уравнений в частных производных с теорией категорий.
• Предложен новый подход к смешанной неабелевой теории Ходжа с категорной точки зрения.
• Продолжается успешная работа над решением проблемы о нерациональности общей четырехмерной кубики. Последняя проблема имеет столетнюю историю. Для ее решения ведется построение принципиально новой теории спектров, которая даст трактовку теории моделей Ландау-Гинзбурга как обобщенной теории особенностей. Планируется доказать, что спектр Громова-Виттена, то есть категорный спектр, является бирациональным инвариантом. Результаты в данном направлении будут иметь исключительно важные приложения в геометрии, математической физике и теоретической физике.
• Доказана гипотеза М. Концевича о том, что производная категория когерентных пучков на отделимой схеме конечного типа над полем характеристики нуль является гомотопически конечной.
• Доказана гипотеза гомологической зеркальной симметрии для трехмерного проективного пространства.
• Доказана гипотеза Кацаркова–Концевича–Пантева, связывающая числа Ходжа многообразия Фано и числа Ходжа его модели Ландау–Гинзбурга, в размерности 2 и 3. Установлена связь данной гипотезы с P = W гипотезой, которая лежит в основе современной интерпретации геометрической программы Ленглендса.
• Инициирован новый подход к доказательству гипотезы гомологической зеркальной симметрии для многообразий общего типа.
• Дано доказательство существования торических моделей Ландау–Гинзбурга для трехмерного случая и для случая полных пересечений. Получено описание производных категорий расслоений на гиперповерхности произвольной степени, построены группы гомологий тропических многообразий.
• Автоморфные формы и их приложения
• Построены теории модулярных тета-блоков и рефлективных автоморфных форм, получены важные приложения к теории модулей поляризованных гиперкэлеровых многообразий и поляризованных поверхностей Куммера.
• Дана полная классификация лоренцевых алгебр Каца-Муди с группой Вейля, порожденной всеми 2-отражениями.
• Доказана гипотеза арифметической зеркальной симметрии для широкого класса K3 поверхностей.
• Дано решение проблемы Йошикава (2000) о явном описании лоренцeвых алгебр Каца–Муди, построенных по аналитическим кручениям поверхностями дель Пеццо.
• В терминах автоморфных форм дан ответ на давний вопрос Френкеля–Фейнгольда (1982) о возможной взаимосвязи между функциями знаменателя Каца–Вейля аффинных и гиперболических алгебр Каца–Муди.
• Получены автоморфные подтверждения двухмерного аналога знаменитой гипотезы Шимуры–Таниямы (гипотезы Брамера–Крeймер о модулярности абелевых поверхностей).
• Доказана гипотеза Родригеса–Виллегаса (2003) о существовании суперсравнений для 14 жестких гипергеометрических многообразий Калаби–Яу размерности 3 над Q.
• Найдено выражение значений дзета-функции Дедекинда как периодов вещественных автоморфных форм по вещественным циклам Хегнера и следующие из этого рациональность и конгруэнц-свойства этих дзета-значений.
• Получены новые нижние оценки для больших промежутков между суммами двух квадратов.

Внедрение результатов исследования:

Исследования имеют важное мультидисциплинарное значение в рамках теоретической математики (кэлерова, алгебраическая и дифференциальная геометрии, теория бесконечномерных алгебр Ли, теория автоморфных форм, теория чисел) и современной теоретической физики (квантовая теория поля, квантовая гравитация, теория струн).

Образование и переподготовка кадров:

Сотрудники лаборатории за 6 лет защитили 4 докторские и 5 кандидатских диссертаций, прочитали более 60 авторских курсов лекций. 135 молодых ученых, специалистов и преподавателей прошли профессиональную переподготовку (повышение квалификации) в лаборатории по направлению научного исследования. Ежегодно лаборатория проводит летнюю студенческую школу по геометрии в Новосибирске, студенческие школы также проводились в Санкт-Петербурге (2017 г.) и на базе Учебного Центра НИУ ВШЭ в Вороново (2019 г.).

• Научный сотрудник лаборатории А.И. Ефимов в 2017 году получил золотую медаль Российской академии наук с премией для молодых ученых России за цикл работ «Производные категории и циклические гомологии», в 2020 году ему присуждена премия Европейского Математического Общества.
• Заместителю заведующего лабораторией В.В. Пржиялковскому в 2019 году присуждены премия Правительства Москвы и грант Президента Российской Федерации для молодых ученых России.
• Сотрудники Лаборатории В. Гриценко и А. Левин возглавили совместный франко-российский грант ANR-РНФ «Симметрии и пространства модулей в алгебраической геометрии и физике» на 2021-2023 годы.  Уникальность данного успеха в том, что сотрудники Международной лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм возглавляют обе части гранта: В. Гриценко руководит французской командой, а А. Левин — российской. Грант охватывает исследования в области математики и физики. Бюджет на 2021-2023 годы: РНФ – 6 000 000 руб. в год, ANR – 700 000 евро на три года.

Сотрудничество:

• Новосибирский государственный университет, Математический центр в Академгородке, Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук (Россия): совместные международные конференции, ежегодная совместная летняя студенческая школа «Текущие достижения в геометрии», совместные исследования.
• Institut des Hautes Études Scientifiques (Франция): совместные научные исследования.
• Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук (Россия): совместные международные конференции, научные семинары, исследования.
• The Institute of the Mathematical Sciences of the Americas at the University of Miami (США): совместные научные семинары, воркшопы, конференции.
• International Center for Mathematical Sciences – Sofia – Bulgarian Academy of Sciences (Болгария): совместные международные научные конференции в Болгарии и России, научный обмен.