Лаборатория математической гидродинамики научно-исследовательского института математики

Научные результаты:

• Доказательство теоремы существования слабого решения задачи со свободной границей для уравнений динамики вязкого газа, моделирующей движение тяжёлого поршня в цилиндре под действием давления вязкого газа.

• Доказательство глобальной теоремы о существовании и единственности сильного решения одномерной начально-краевой задачи о движении многоскоростных смесей вязких сжимаемых жидкостей с недиагональной матрицей вязкостей в ограниченной области с условиями прилипания ее составляющих на границе.

• Доказательство теорем существования и регулярности решений в задаче о совместной минимизации функционалов Уиллмора и Дирихле. Доказано существование трехмерных, гидроупругих, нелинейных периодических волн, распространяющихся по бассейну бесконечной глубины.

• Доказательство закона Бернулли для осесимметричных соболевских решений уравнения Эйлера в неограниченных областях.

• Доказательство утверждения о сходимости траекторного аттрактора диссипативной 2D системы Навье-Стокса в пределе при вязкости, стремящейся к нулю, к траекторному аттрактору соответствующей диссипативной 2D системы Эйлера в сильной Хаусдорфовой метрике.

• Доказательство теорем существования слабых решений дробной модели вязкоупругости Фойгта с памятью вдоль траекторий движения и начально-краевой задачи для системы гидродинамики с памятью, являющейся дробным аналогом модели вязкоупругости Фойгта. Доказательство существования слабого решения начально-краевой задачи, описывающей динамику вязкоупругой среды с памятью на бесконечном интервале. Доказательство существования единственного решения начально-краевой задачи для систем гидродинамики с памятью, описываемых вырождающимися эллиптическими и параболическими уравнениями. Доказательство теоремы существования слабых решений моделей движения жидкости Бингама. Доказательство теорем существования аттракторов решений автономных систем гидродинамики с памятью и аттракторов модели движения жидкости Бингама.

• Доказательство теорем существования слабых и диссипативных решений (также указана связь сильных и диссипативных решений, альфа-моделей движения жидкости с памятью). Доказательство теоремы существования слабых решений модели Павловского-Осколкова. Доказательство теоремы существования диссипативных решений (указана связь сильных и диссипативных решений) начально-краевой задачи для альфа-модели Джеффриса—Олдройда. Доказательство теоремы существования слабых решений альфа-модели движения растворов полимеров.

• Описание построенной теории управления системой нормального типа, связанной с уравнением Гельмгольца посредством стартового и импульсного управлений. Описание разработанного нелокального метода стабилизации трехмерных систем Гельмгольца и Навье-Стокса посредством импульсного управления.

• Доказательство теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости сильно непрерывной полугруппы ограниченных операторов, генерируемой операторным блоком специального вида. Результаты решения двух задач механики сплошных сред (задачи о движении вязкоупругого тела и задачи о малых движениях вязкоупругой сжимаемой жидкости Максвелла, заполняющей ограниченную равномерно вращающуюся область) с использованием указанной теоремы.

• Описание строгой теории потоков градиента и геодезической выпуклости относительно геометрической структуры, связанной с этой метрикой. Описание вариационной схемы де Джорджи-Джордана-Киндерлерера-Отто для построения решений для указанных потоков градиента.
  

• Описание разработанной теории внутренних волн Пуанкаре и Кельвина в области с переменной глубиной и криволинейной границей. Результаты анализа возможностей генерации внутренних волн. Описание разработанных моделей и компьютерных средств решения задач генерации и распространения внутренних волн Пуанкаре и Кельвина, основанных на нелинейных уравнениях мелкой воды для слоистого течения жидкости с массообменном.

• Построение иерархии математических моделей, описывающих волновую динамику океанической среды с учетом особенностей топографии, дисперсии и обрушения внутренних волн. Проведение анализа и систематизации натурных данных, полученных в различных районах мирового океана. При этом использованы новейшие данные о глубоководных течениях в Атлантике (канал Вима, разломы Романш и Чейн, проход Дискавери), а также о трансформации внутренних волн в шельфовой зоне Японского и Южно-Китайского морей. Описание разработанной численно-аналитической модели внутренних волн в океане, учитывающей региональные особенности натурных экспериментальных данных. Разработка математической модели типа Грина — Нагди и Кортевега — де Фриза для описания сильно нелинейных внутренних волн, учитывающая тонкую стратификацию поля плотности и амплитудную дисперсию. Систематизация особенностей формирования внутренних волн в зависимости от региона. Получение асимптотики решений по времени для нелинейных уравнений, описывающих распространение нестационарных внутренних волн в стратифицированной жидкости, вызванных движением погруженного тела под ледовым покровом.

• Доказательство глобальной разрешимости задачи об оптимизации работы двигателя Стирлинга.

• Доказательство существования билипшицевых конформных координат на поверхности, которая является экстремалью функционалов Уиллмора и Дирихле. Доказательство утверждения, что множество особенностей такой параметризации имеет нулевую Хаусдофову меру любой положительной размерности.

• Доказательство аналога теоремы Лиувилля для осесимметричных течений идеальной жидкости (уравнения Эйлера) без вращения. Как следствие получено доказательство аналога теоремы Лиувилля для осесимметричных течений системы Навье-Стокса без вращения.

• Доказательство утверждения о том, что если случайные функции являются эргодическими и статистически однородными по пространственным переменным или по времени, то траекторные аттракторы 3D системы Навье-Стокса сходятся в слабой топологии к траекторному аттрактору усредненной 3D системы Навье-Стокса, детерминированная внешняя сила которой получается усреднением внешних сил исходных случайных 3D систем Навье-Стокса.

• Доказательство теоремы существования равномерных аттракторов решений неавтономной системы гидродинамики с памятью и модели движения среды Бингама.

• Доказательство теоремы существования оптимального управления с обратной связью для ряда альфа-моделей гидродинамики. В частности, доказательство существования оптимального управления с обратной связью для альфа-модели Лере, альфа-модели Навье-Стокса, системы уравнений Павловского.

• Описание нелокального метода стабилизации систем нормального типа, а также трехмерных систем Гельмгольца и Навье-Стокса посредством распределенного управления. Результаты исследования взаимодействия нормального и тангенциального операторов.

• Доказательство теоремы о сильной разрешимости начально-краевой задачи, описывающей малые движения вязкоупругого тела гиперболического типа. Доказательство утверждения об устойчивости и стабилизации решения исследуемой задачи.

• Описание построенной теории и результатов анализа метрических, геометрических и топологических свойств MCF-расстояния на пространстве конечных градиентных векторных мер Радона и на пространстве функций ограниченной вариации. Описание новой модели для восстановления изображения, которая использует MCF-расстояние. Доказательство существования решения этой модели распознавания образов, корректность и качественные свойства.

• Результаты численных расчетов распространения нелинейных внутренних волн (в том числе волн Пуанкаре и Кельвина) для конкретных гидродинамических систем, в частности, для прибрежной зоны моря. Результаты натурных наблюдений и измерений гидродинамических параметров течений в конкретных водоемах. Анализ данных натурных наблюдений и их сравнение с результатами численного моделирования.

• Результаты сравнительного анализа результатов моделирования волновой динамики океанической среды и натурных данных для конкретных районов Мирового океана. Описание разработанной гидродинамической модели конкретного района океана с учетом особенностей волновой динамики, связанных с прохождением нелинейных внутренних волн. Описание математической модели для определения волнового поля при прохождении пакета нелинейных внутренних волн и анализ результатов численного моделирования.

• Доказательства теорем существования слабых решений начально-краевых задач для моделей вязкоупругой жидкости с реологическими соотношениями с производными дробного порядка типа Фойгта и анти–Зенер с памятью вдоль траекторий движения жидкости. Теоремы существования и единственности решения для вырождающихся параболических и эллиптических уравнений высокого порядка, описывающих модели вязкоупругости.

• Получение теорем о существовании решений задачи о нелинейных волнах установившегося вида на поверхности океана, покрытого льдом.

• Получение аналога теоремы Лиувилля для осесимметричных течений вязкой жидкости (стационарные уравнения Навье-Стокса) с вращением.

• Описание общей конструкции траекторных и глобальных аттракторов эволюционных уравнений с памятью. В предложенном подходе динамическая система действует в пространстве начальных данных задачи Коши изучаемой системы. В качестве важного приложения предложенного метода были построены траекторный и глобальный аттрактор для диссипативного волнового уравнения с линейной памятью. Было также доказано существование глобальной функции Ляпунова для диссипативного волнового уравнения с памятью. Существование такой функции Ляпунова позволило доказать регулярность структуры аттракторов, которые совпадают с неустойчивыми множествами, выходящими из множества стационарных точек рассматриваемого уравнения.

• Доказательство теоремы существования минимального траекторного пулбек-аттрактора и глобального пулбек-аттрактора как для слабых решений неавтономной среды с памятью, так и для слабых решений модели движения среды Бингама в неавтономном случае.

• Доказательство теорем существования слабых решений для альфа–моделей Лере, Навье–Стокса и Фойгта с коэффициентами вязкости, зависящими от температуры.

• Результаты о взаимодействии нормального и тангенциального операторов, на которые разлагается квадратичный оператор из системы Гельмгольца. Теория нелокальной стабилизации системы гидродинамического типа. Конструкция стабилизирующего импульсного управления для продифференцированного уравнения Бюргерса, перенос построенной конструкции на систему Гельмгольца.

• Теорема о спектре возникающего операторного пучка для системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающих движение вязкоупругого тела, закрепленного на границе ограниченной области. Теорема о кратной базисности системы корневых элементов, разложение решения эволюционной задачи. Теорема об асимптотике решений.

• Рассмотрение адиабатического режима для наклоняющихся храповиков. Получены явные формулы для скорости адиабатической миграции животных, рыб, или бактерий и направления миграции. Показано, что более длинный диапазон монотонности потенциала определяет конкретное направление миграции. Результат основан на новом нетривиальном функциональном неравенстве. Также изучен полуадиабатический режим для наклоняющихся храповиков, когда общий период наклона уходит в бесконечность и одно из состояний наклона доминирует над другим. Получена явная формула для скорости полуадиабатического переноса и доказано, что при непостоянных потенциалах происходит полуадиабатическая миграция животных, рыб, или бактерий в одном и том же направлении. Эти результаты частично основаны на ещё одном новом функциональном неравенстве. Для броуновских храповиков произвольного типа со слабой диффузией показано, что существует связь между переносом и неким ОДУ. Если это ОДУ не имеет периодических решений или, другими словами, если его число вращения ненулевое, там появляется однонаправленный поток животных, рыб, или бактерий, хотя средняя сила нулевая.

• Проведение натурных измерений внутренних волн в августе-сентябре 2019 года на морской экспериментальной станции «Мыс Шульца» ТОИ ДВО РАН, получение экспериментальных данных. Было проведено численное моделирование нелинейных внутренних волн и построена модель нелинейных внутренних волн (в том числе Кельвина и Пуанкаре). Проведен сравнительный анализ полученных экспериментальных данных с результатами численного моделирования.

• Исследование структуры решений и разрешимости краевой задачи, описывающей нелинейные волны в течениях непрерывно стратифицированной жидкости над препятствием. На основе модели слабо связанных уравнений Кортвега — де Фриза изучено взаимодействие зацепленных бегущих волн. Построены решения ряда обратных задач о воспроизведении структуры нелинейных пакетов внутренних волн. Восстановлено поле температуры и границы слоев при прохождении приповерхностной уединенной волны и волнового бора. Проведена верификация построенной модели путем сравнения с экспериментальными данными, полученными не только на МЭС «Мыс Шульца» ТОИ ДВО РАН, но и с экспериментальными данными, полученными в Южно-Китайском море (Lien, Henyey, Ma and Yang, 2004).

• Установление теоремы существования и единственности сильного решения начально-краевой задачи для системы уравнений движения нелинейно-вязкоупругой жидкости, являющейся дробным аналогом модели вязкоупругости Фойгта с памятью вдоль пространственной переменной, в плоском случае. Для модели термовязкоупругой среды типа Олдройда с памятью вдоль траекторий движения установлена слабая разрешимость. При этом для существования траекторий движения, обеспечивающих память среды, использовалась теория регулярных лагранжевых потоков. Разработан новый метод, основанный на свойствах вырождающихся псевдодифференциальных операторов, построенных по специальному интегральному преобразованию. На основе этого метода были исследованы новые классы псевдодиференциальных операторов, позволяющих исследовать корректность математических моделей термовязкоупругости, содержащих начально-краевые и граничные задачи для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений.

• Доказательство теорем о слабой разрешимости для моделей вязкоупругих сред с реологическими соотношениями дробного порядка большего, чем единица.

• Доказательство сходимости траекторных и глобальных аттракторов аппроксимаций модели движения вязкоупругой среды с памятью к траекторным и глобальным аттракторам этой модели в смысле полуотклонения при стремлении параметра аппроксимации к нулю. Получение сходимости траекторных и глобальных аттракторов аппроксимаций модели Бингама к траекторным и глобальным аттракторам модели Бингама в смысле полуотклонения при стремлении параметра аппроксимации к нулю. Доказательство сходимости траекторных и глобальных аттракторов аппроксимаций модифицированной модели Кельвина-Фойгта к траекторным и глобальным аттракторам этой модели в смысле полуотклонения при стремлении параметра аппроксимации к нулю.

• Доказательство теоремы о разрешимости в слабом смысле задачи оптимального управления с обратной связью для модели Фойгта с переменной плотностью.

• Получение теоремы существования глобальных по времени слабых решений начально-краевой задачи для альфа-модели I класса среды Бингама.

• Теорема существования слабого решения задачи оптимального управления с обратной связью для модифицированной модели Кельвина-Фойгта слабо концентрированных водных растворов полимеров.

• Изучение задачи вращательно симметричных течений в ограниченном объеме газа для всех показателей адиабаты больше или равных единице. Было показано, что матрица концентраций сосредоточена на оси вращения. Кроме того установлено, что она имеет единственный ненулевой элемент, лежащий на диагонали и соответствующий направлению вдоль оси симметрии OZ. Соответствующая этому ненулевому элементу мера представляет произведение константы на меру длины dz. Другими словами, матрица концентраций имеет только один ненулевой элемент, который является мерой Дирака, сосредоточенной на оси симметрии. Также показано, что концентрации отсутствуют в случае осесимметричных решений.

• Теорема о глобальной разрешимости краевой задачи для многотемпературной многоскоростной модели смесей в общем случае трех пространственных переменных.

• В плоском случае доказательство теоремы существования и единственности сильного решения начально-краевой задачи для системы уравнений, описывающей динамику нелинейной термовязкоупругой сплошной среды с реологическим соотношением типа Олдройда.

• Доказательство теоремы о существовании сильных решений задачи оптимального управления с обратной связью для системы Навье-Стокса с переменной плотностью в плоском случае.

• Установление теоремы о разрешимости в сильном смысле задачи оптимального управления с обратной связью для модели Фойгта с переменной плотностью.

• Доказательство теоремы о сходимости последовательности решений семейства альфа-моделей Бингама к решению исходной начально-краевой задачи при стремлении параметра альфа к нулю.

• Получение формулы монотонности для тензора энергии для задачи о вращательно-симметричных течениях вязкого газа с предельным значением показателя адиабаты равным единице. Доказано, что вне оси вращения функция плотности допускает оценку в негативном пространстве Соболева с показателем -1/2, зависящую только от данных задачи. Доказано существование слабого решения определенного вне оси вращения. Показано, что концентрация тензора кинетической энергии представляет собой симметричную и неотрицательную матричную борелевскую меру, сосредоточенную на оси вращения. Показано, что матрица концентраций может иметь только одну нетривиальную компоненту. Также доказано, что усреднение матрицы концентраций по временной переменной абсолютно непрерывно на оси вращения и его плотность полунепрерывна сверху.

• Получение теоремы о слабой разрешимости начально-краевой задачи для теплопроводной многоскоростной многомерной модели динамики смесей с учетом вязкости и сжимаемости.

• Теорема существования слабых решений начально-краевых задач для уравнений движения для модели вязкоупругой жидкости с памятью вдоль траекторий поля скоростей и с реологическим соотношением, содержащим целые производные высоких порядков.

• Доказательство слабой разрешимости начально-краевых задач, описывающих движение вязкоупругих сред (типа Фойгта) с коэффициентом запаздывания, зависящим от температуры.

• Теорема существования слабого решения начально-краевой задачи для модифицированной модели Кельвина-Фойгта с переменной плотностью.

• Утверждение о существовании слабых вращательно симметричных решений  уравнений магнитной газовой динамики с учетом эффектов вязкости и самогравитации. Утверждение о структуре возможных концентраций тензора энергии. Эффективная оценка сверху для критического значения показателя адиабаты, при превышении которого концентрации отсутствуют.

• Доказательство разрешимости регуляризации начально-краевой задачи для уравнений динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред.

Образование и переподготовка кадров:

• В 2017 году пять сотрудников лаборатории прошли повышение квалификации по теме «Уравнения в частных производных и их приложения к математической гидродинамике» на математическом факультете Ближневосточного университета (Турецкая Республика Северного Кипра).

В 2018 году пять сотрудников лаборатории прошли повышение квалификации в Международном центре математики (Португалия).

В 2019 году пять сотрудников лаборатории прошли повышение квалификации по теме «Многофазные неньютоновские жидкости: математическое моделирование и вычисления» в Лаборатории академического института систем тепловой промышленности (Франция).

• Проведены международные научные конференции: «Современные методы и проблемы математической гидродинамики» (2017 г.), «Современные методы и проблемы математической гидродинамики-2018» (2018 г.), «Современные методы и проблемы математической гидродинамики-2019» (2019 г.).

• В 2017 году проведен научный семинар «Математические модели сдвиговых течений мелкой воды» с приглашенным лектором из Университета Экс-Марсель.

• Подготовлены и защищены 2 докторские, 2 кандидатские и 6 магистерских диссертаций, 5 бакалаврских выпускных квалификационных работ.

• Созданы и внедрены в учебный процесс математического факультета Воронежского государственного университета лекционные курсы: «Приложения теории дифференциальных уравнений к геометрии», «Уравнения Навье-Стокса сжимаемой жидкости», «Приложения дифференциальных включений к задачам оптимального управления», «Математические модели Павловского движения полимерных растворов», «Альфа-модели уравнений гидродинамики», «Аппроксимационно-топологический метод для разрешимости уравнений гидродинамики вязкоупругих сред».

• Опубликованы 2 учебных пособия.

Сотрудничество:

Тихоокеанский океанологический институт им. В.И. Ильичева Дальневосточного отделения Российской академии наук (Россия): подписан договор о научном сотрудничестве, проведен ряд совместных исследований, по результатам которых опубликованы 2 статьи.