Международная лаборатория кластерной геометрии

Название проекта: Кластерные алгебры и пространства модулей плоских и голоморфных связностей

Предлагаемый проект находится на стыке двух областей математики: теории кластерных алгебр и пространств модулей плоских или голоморфных связностей на римановых поверхностях.

Одно из значительных приложений кластерной теории описывает «шировские» координаты на пространстве Тейхмюллера кривых рода g с дырками и отмеченными точками. Известно, что пространство Тейхмюллера отождествляется с пространством плоских PSL_2-связностей. Кластерные координаты, задаваемые триангуляцией поверхности, являются Дарбу-подобными координатами для скобки Вейля-Петерссона. Фоком и Гончаровым эта конструкция была обобщена на пространства модулей плоских связностей.

Это описание удобно для квантования соответствующих пространств. Г. Шрадер и А. Шапиро применили его для описания теории представления квантовых групп.   

Производящая функция для интегралов характеристических классов пространства модулей комплексных кривых удовлетворяет системе КдФ. Доказательство Ландо и Казаряна основано на подсчете чисел Гурвица, то есть чисел разветвленных накрытий сферы комплексной кривой рода g. Производящая функция чисел Гурвица удовлетворяет cut-and-join уравнениям и иерархии КП. Формула ELSV связывает числа Гурвица с интегралами от характеристических классов по пространству модулей. Ландо и Казарян показали, что уравнение КП для чисел Гурвица влечет уравнение КдФ для интегралов. Звонкин, Шадрин и Фабер доказали обобщение для пространств модулей r-spin структур. Уравнения cut-and-join служат примером топологической рекурсии: интегралы харклассов по пространствам модулей могут быть выражены через подобные интегралы по стратам границы. Аналогично, Мирзахани вывела рекуррентные соотношения между объемами стратов пространств модулей кривых с границей и связала их с интегралами харклассов по пространствам модулей. Рекуррентные соотношения Мирзахани эквивалентны топологической редукции для некоторой матричной модели и обобщаются на пространства Гурвица.

Главной целью данного проекта является распространение методов, применяемых для вычисления канонических характеристических классов в пространствах моделей комплексных кривых, на пространства плоских связностей. Современный подход к вычислению интегралов канонических классов основан на топологической рекурсии, которая позволяет рекуррентно выражать интегралы характеристических классов. Начальным этапом предлагаемого проекта является построение кластерной теории для пространств модулей кривых и изучение их применения для вычисления интегралов канонических классов.