Лаборатория «Нелинейные и нелокальные задачи для уравнений в частных производных и их приложения»

Научные результаты:

Для консервативных нелинейных уравнений, возникающих в современной физике (т.е. для таких нелинейных уравнений, которые описывают процессы без диссипации энергии) и для их малых возмущений посредством случайной силы и трения, разработан метод квазирешений. Этот метод позволяет конструктивно строить приближенные решения указанных уравнений, называемых "квазирешения", и изучать поведение квазирешений при различных предельных режимах, рассматриваемых физиками. В частности, для предельного режима, когда сначала пространственный период квазирешения стремится к бесконечности, а затем величина возмущения стремится к нулю, доказано, что распределение энергии квазирешения между различными колебательными частотами (называемое "энергетический спектр квазирешения") приближенно описывается решением волнового кинетического уравнения. С привлечением результатов современной теории чисел, развитых и уточненных для целей данного исследования, показано что изменение порядка предельных переходов (сначала возмущение стремится к нулю, затем период стремится к бесконечности) приводит к тому, что энергетический спектр квазирешения описывается иным кинетическим уравнением, ранее не известным физикам.

Не вызывает сомнений, что квазирешения близки к точному решению. Таким образом, их энергетические спектры близки к энергетическому спектру точного решения, так что последний также хорошо приближается решением соответствующего кинетического уравнения. С целью строгого доказательства близости решения и квазирешений разработана новая разновидность метода Ньютона-Канторовича-Нэша-Мозера (НКНМ). Метод НКНМ позволяет доказывать близость приближенных и точных решений различных уравнений, и в настоящее время коллектив лаборатории работает над применением созданной в ходе проекта версии НКНМ метода к уравнениям из первого абзаца.

Разработаны новые методы изучения поведения на больших временах сложных физических систем, содержащих случайность. В ряде важных случаев эти методы позволяют доказать, что поведение основных статистических характеристик таких систем является универсальным, то есть не зависящим от начальной конфигурации системы. Если рассматриваемая система близка к линейной или к интегрируемой, то удается получить эффективное описание этих характеристик. Так как разработанные методы являются абстрактными, то они применимы к системам разнообразной природы, возникающим в различных разделах естествознания.

С целью дальнейшего изучения свойств волновых кинетических уравнений, которые в силу результатов, упомянутых в разделе 1) описывают энергетические спектры квазирешений, введен и изучен класс обобщенных кинетических уравнений. Этот класс включает как волновые кинетические уравнения, так и знаменитое уравнение Больцмана. Рассмотрены дискретизации обобщенных кинетических уравнений и изучено поведение решений этих дискретных уравнений при неограниченном росте времени. В ряде случаев доказано, что при увеличении размерности дискретизации решения дискретных уравнений сходятся к решению исходного обобщенного кинетического уравнения.

Сотрудничество:

• Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
• Институт ядерной физики имени Г.И.Будкера СО РАН
• Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук
• Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
• Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук