Лаборатория «Современная алгебра и приложения»

1. Научные результаты, полученные за первый год работы лаборатории, глубже и шире тех, что заявлялись и ожидались. В частности, предоставлено решение классической проблемы теории групп, над которой много десятилетий работали ведущие специалисты. Сотрудники лаборатории «Современная алгебра и приложения» активно проводили научные исследования, семинары и коллоквиумы, организовывали приезд иностранных коллег для совместной работы и писали научные работы. Научный коллектив лаборатории решил проблему, поставленную А.Эршлер, а именно, построил конечно-порожденную фрактальную разрешимую группу. Фрактальная группа – это группа с неограниченным итерированным тождеством. Построенная группа является разрешимой ступени 3. Было известно, что таких групп не существует в классе метабелевых. Результат опубликован в журнале Труды Математического института им. В.А. Стеклова «Пример фрактальной конечно порожденной разрешимой группы» 307 (2019), этот выпуск журнала посвящен памяти И.Р. Шафаревича. Получены новые результаты в области локализаций групп: были введены несколько новых классов локализаций (идемпотентных монад) на категории групп (1) точные справа локализации; (2) свободно определённые локализации; (3) локализации, заданные уравнениями; (4) эпи-сохраняющие локализации; (5) все локализации. Были изучены их свойства. Было доказано, что (1), (2), (3), (4), (5) — это строго возрастающая последовательность классов. Сотрудники лаборатории продолжают изучение локализаций. Основная цель данного изучения – проблема о сохранении класса нильпотентности при локализации. На данный момент это удалось доказать для локализаций специального типа (так называемых точных справа локализаций). Представлена гипотеза о кратности неприводимого представления подгруппы Н, содержащейся в неприводимом представлении группы G, при условии, что приведенные группы у G и Н совпадают.
2. В работе Commutative Lie Algebras And Commutative Cohomology In Characteristic 2 были введены и изучены коммутативные когомологии алгебр Ли над полем характеристики 2. Была также введена структура кольца (по аналогии с классическим случаем) когомологий. Было проведено сравнение этих когомологий с классическими и также были вычислены кольца коммутативных когомологий у одномерной, думерной алгебр Ли и алгебры Гайзенберга. Были также поставлены дальнейшие вопросы для изучения. В работе Bipartite Graphs As Polynomials And Polynomials As Bipartite Graphs, для каждого конечного двудольного графа, был построен полином от одной переменной с коэффициентами в натуральных числах, а также, по каждому полиномы от одной переменной с коэффициентами в натуральных числах был построен двудольных конечный граф. Более того было показано что это взаимно-однозначное соответствие. При этом оказалось, что произведению полиномов соответствует произведение Уинскеля двудольных графов (в категории сетей Петри). Аналогичное соответствие было проведено для конечных двудольных направленных графов, где уже в соответствие ставится полином от двух переменных с коэффициентами в натуральных числах. В множества направленных двудольных графов, таким образом, была введена топология Зарисского и рассмотрены такие понятие как окрестность графа, его простота (как простота соответствующего идеала) и так далее.
3. Усилиями членов научного коллектива были решены крупные открытые проблемы и выстроены новые теории. Молодые сотрудники лаборатории на высоком уровне подготовили математические работы. Лаборатория стала центром информативных лекций и плодотворных научных дискуссий. Получены новые результаты в теории пределов в категориях свободных копредставлений, в частности, новые описания fr-предложений, кодирующих функторы в категориях групп. Полученные результаты опубликованы в статье «Пределы, стандартные комплексы и fr-коды».
4. Сотрудниками лаборатории получены новые результаты в области локализаций групп. Введены несколько классов локализаций в категории групп и изучают их свойства и связи между ними. Наиболее интересный класс среди рассматриваемых локализаций – это класс локализаций, совпадающих со своим нулевым производным функтором. Ученые называют такие локализации точными и доказывают, что точная локализация L сохраняет класс нильпотентных групп, а также что для всякой конечной p-группы G отображение G\to LG является эпиморфизмом. Коллектив лаборатории также доказывает, что некоторые известные локализации (P-локализация Баумслага относительно множества простых чисел P, HR-локализация Боусфилда, локализация Левина, Z-локализация Левина-Ча) точны. Наконец, ученые доказывают некоторый частный случай гипотезы Фарджуна об отображениях Николова-Сегала.
5. Члены научного коллектива лаборатории нашли серию 3-мерных многообразий, которые попарно гомологически неэквивалентны, однако, их группы имеют изоморфные пополнения. Инварианты, различающие эти многообразия между собой, строятся за первым предельным ординалом, являются трансфинитными, и получаются из трансфинитных факторов по членам нижнего центрального ряда HZ-локализаций в смысле Боусфилда фундаментальных групп 3-многообразий.
6. В настоящее время научный коллектив лаборатории продолжает активно вести исследования fr языка, исследования в области теории представлений вещественных и р-адических групп, теории автоморфных форм, а также конечномерных представлений алгебраических групп с инволюцией, исследования в области теории гомотопий и теории групповых колец, новых связей между ними, исследования HZ локализации свободной группы, локализаций и пополнений некоторых других групп.

С 2018 года, когда была создана Лаборатория, коллектив ежегодно на регулярной основе проводит семинары «Языки и пространства» и «Современная алгебра и приложения» с участием авторитетных мировых ученых в области математики и философии. Также помимо семинаров проводятся открытые лекции по направлению научного исследования, в которых могут принять участие все желающие.