Научные результаты:
Основная задача проекта: создание новых методов исследования многомерных систем с нетривиальной динамикой. Хаотическое поведение решений гладких дифференциальных уравнений было обнаружено еще в конце XIX века; исследованию этого явления были посвящены усилия многих выдающихся математиков и физиков прошлого. На сегодня теория динамических систем, благодаря своей междисциплинарной природе (с математической точки зрения – это и область анализа, и часть геометрии, и раздел теории групп и, одновременно, теории вероятностей, с приложениями в теории чисел, и т.д.) - одна из наиболее интенсивно развивающихся областей математики. Количество прикладных задач, в которых наблюдается динамический хаос, огромно, и вопрос о статистических свойствах многомерных систем с хаотической динамикой принадлежит к числу фундаментальных проблем физики. Тем не менее, современное состояние теории не дает почти никакой математически строго обоснованной информации о структуре хаотической динамики в практически любой наудачу выбранной физической системе. Причина: фокус большинства исследователей на системах, обладающих какой-нибудь "удобной" математической структурой (та или иная разновидность гиперболичности, симметрии и т.п.), что приводит к описанию только специально приготовленных примеров или только неустойчивых динамических режимов. Настоящий проект, напротив, направлен на исследование математических структур, наиболее адекватно формализующих основные устойчивые свойства динамики систем естественного происхождения, и на создание и строгое обоснование соответствующих методов изучения динамического хаоса, наблюдаемого в прикладных задачах.
В теории систем на многообразиях и теории странных аттракторов получены следующие результаты:
-
исследованы потоки, удовлетворяющие аксиоме А Смейла на произвольном ориентируемом трехмерном многообразии. Показано, что двумерные базисные множества таких потоков являются либо гиперболическими аттракторами, либо гиперболическими репеллерами;
-
дано полное описание структуры области притяжения таких аттракторов;
- дано полное описание топологической структуры ориентируемых двумерных многообразий, допускающих А- диффеоморфизмы с заданным числом одномерных базисных множеств;
- дана исчерпывающая топологическая классификация несингулярных потоков Морса-Смейла с двумя периодическими траекториями на многообразиях произвольной размерности;
-
показано, что для многообразий, допускающих такие потоки, существует от одного до трех классов топологической эквивалентности таких потоков, в зависимости от типа многообразия;
-
получена классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла двумерного многообразия по отношению устойчивой изотопии в смысле Ньюхауса-Пэлиса-Такенса.
В теории бифуркаций, голоморфной динамике и теории обратимых систем:
В области приложений к задачам математической физики:
-
получены универсальные топологические соотношения между числом нуль-точек и источников магнитного поля для ветвящихся конфигураций сепараторов, соединяющих источники и нуль-точки, которые ответственны за структуру анемоноподобных солнечных вспышек;
-
исследованы перестройки синусоидальных волн в модифицированных уравнениях Кортевега - де Фриза с нелинейностями третьего и пятого порядка. В пределе нулевой дисперсии даны аналитические выражения для времени и уровней обрушения волны. Дано описание основных закономерностей неупругого взаимодействия солитоноподобных решений. Исследована динамика газа взаимодействующих бризеров, включая иррегулярные волны и турбулентность, а также статистические свойства полученных волновых решений. Найдены волны экстремальной амплитуды;
-
предложена эффективная процедура для реконструкции фазы осцилляторной системы при помощи итеративного применения преобразования Гильберта. Показано, что данный метод существенно улучшает качество реконструкции для высокочастотных колебаний.
Внедрение результатов исследования:
В рамках работ над проектом разработан программный комплекс, реализующий высокопроизводительные методы численного исследования многомерных динамических систем, возникающих, в том числе, в различных приложениях. С помощью разработанного комплекса получены следующие результаты исследования прикладных моделей: в направлении связанном с изучением моделей динамики инкапсулированных пузырьков газа в жидкости выявлены области с гиперхаотическими колебаниями пузырьков, установлена возможность перехода от синхронных колебаний к асинхронным, показано, что этот процесс осуществляется по сценарию пузырькового перехода; по направлению посвященному исследованию динамических систем, моделирующих функционирование генных сетей описаны механизмы перехода от регулярных периодических режимов, соответствующих синфазным и противофазным режимам активности, к хаотическим; в направлении исследования ансамблей взаимодействующих нейроподобных элементов с изменяющейся во времени топологией связи обнаружен и описан новый эффект, когда периодическое замыкание и размыкание связи между элементами ансамбля приводит к экспоненциальному росту энергии; в гидродинамических моделях, описывающих конвекцию в слое жидкости, установлено существование псевдогиперболических аттракторов, а также квазиаттракторов существующих на множествах значений параметров, имеющих положительную меру Лебега.
Образование и переподготовка кадров:
Защиты: 2 кандидатских диссертации, 1 докторская диссертация.
Разработаны и внедрены курсы лекций: «Динамика эндоморфизмов», «Современная теория динамического хаоса», «Теория бифуркаций многомерных систем», «Квантовая механика для математиков», «Прикладная теория динамических систем», «Введение в однопараметрические полугруппы операторов и линейные эволюционные уравнения», «Динамические системы и приложения», «Дополнительные главы качественной теории динамических систем, геометрии и вещественного анализа», «Основы Теории колебаний».
В 2021-2022 годах под руководством ведущего ученого проведена стажировка 6-ти членов научного коллектива лаборатории в Imperial College London (Великобритания) по направлению научного исследования.
Проведены международные школы-конференции:
Прошла предварительная защита кандидатской диссертации Ноздриновой Е.В. на тему «О классах устойчивой изотопической связности градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностей».
Организационные и инфраструктурные преобразования:
-
Участие в математической мастерской с проектом «Исследование периодических данных поверхностных гомеоморфизмов».
- Научно-учебная группа «Топологические и вычислительные методы в динамике».
-
Научно-учебная группа «Эволюционные полугруппы и их приложения».
-
Сотрудничество с лабораторией «Лаборатория теоретической нелинейной динамики» г. Саратов над проектом «Модельные и радиофизические динамические системы: теория и эксперимент».
-
Создан центр коллективного пользования, оснащенный гетерогенной вычислительной установкой. На этой установке развернут разработанный программный комплекс, доступ к которому осуществляется по локальной сети. Пользователи комплексу имеют возможность исследовать модельные задачи, позволяющие улучить понимания различных динамических явлений, так и создавать и исследовать свои задачи, описываемые конечномерными динамическими системами.
Сотрудничество:
Institut de Mathématiques de Bourgogne (Франция), МГУ имени М.В. Ломоносова (Россия), University of Hradec Kralove (Чешская Республика), Ярославский государственный университет (Россия), Университет г. Уорвик (Великобритания), Саратовский государственный университет (Россия), Империал колледж (Великобритания), МГУ им. Н.П. Огарева (Россия), Университет г. Потсдам (Германия), Georgia State University (США), Tongji University (Китай), Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова Российской академии наук (Россия), Южно-Уральский государственный университет (Россия), Институт Космических Исследований (Россия), Университет Якобса (Германия), Университет Барселоны (Испания): совместные исследования. По результатам коллабораций опубликовано более двадцати статей в высокорейтинговых журналах, входящих, в частности, в список WOS с квартилями Q1-Q2.
В рамках лаборатории действует регулярная программа обмена студентами с немецким университетом г. Пассау (Германия).
Налажены регулярные стажировки стажеров-исследователей лаборатории в Математический Центр г. Новосибирска, в Саратовский государственный университет.
