Научные результаты:
Основная задача проекта: создание новых методов исследования многомерных систем с нетривиальной динамикой. Хаотическое поведение решений гладких дифференциальных уравнений было обнаружено еще в конце XIX века; исследованию этого явления были посвящены усилия многих выдающихся математиков и физиков прошлого. На сегодня теория динамических систем, благодаря своей междисциплинарной природе (с математической точки зрения – это и область анализа, и часть геометрии, и раздел теории групп и, одновременно, теории вероятностей, с приложениями в теории чисел, и т.д.) - одна из наиболее интенсивно развивающихся областей математики. Количество прикладных задач, в которых наблюдается динамический хаос, огромно, и вопрос о статистических свойствах многомерных систем с хаотической динамикой принадлежит к числу фундаментальных проблем физики. Тем не менее, современное состояние теории не дает почти никакой математически строго обоснованной информации о структуре хаотической динамики в практически любой наудачу выбранной физической системе. Причина: фокус большинства исследователей на системах, обладающих какой-нибудь "удобной" математической структурой (та или иная разновидность гиперболичности, симметрии и т.п.), что приводит к описанию только специально приготовленных примеров или только неустойчивых динамических режимов. Настоящий проект, напротив, направлен на исследование математических структур, наиболее адекватно формализующих основные устойчивые свойства динамики систем естественного происхождения, и на создание и строгое обоснование соответствующих методов изучения динамического хаоса, наблюдаемого в прикладных задачах.
В теории систем на многообразиях и теории странных аттракторов получены следующие результаты:
- исследованы потоки, удовлетворяющие аксиоме А Смейла на произвольном ориентируемом трехмерном многообразии. Показано, что двумерные базисные множества таких потоков являются либо гиперболическими аттракторами, либо гиперболическими репеллерами;
- дано полное описание структуры области притяжения таких аттракторов;
- дано полное описание топологической структуры ориентируемых двумерных многообразий, допускающих А- диффеоморфизмы с заданным числом одномерных базисных множеств;
- дана исчерпывающая топологическая классификация несингулярных потоков Морса-Смейла с двумя периодическими траекториями на многообразиях произвольной размерности;
- показано, что для многообразий, допускающих такие потоки, существует от одного до трех классов топологической эквивалентности таких потоков, в зависимости от типа многообразия;
- получена классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла двумерного многообразия по отношению устойчивой изотопии в смысле Ньюхауса-Пэлиса-Такенса.
В теории бифуркаций, голоморфной динамике и теории обратимых систем:
- предъявлен сценарий, позволяющий для полярных диффеоморфизмов двумерного тора изменять произвольным образом гомотопический тип замыкания неустойчивого многообразия седловой периодической точки;
- исследована структура замыкания множества критических точек мультипликаторов семейства квадратичных отображений комплексной плоскости;
- изучены обратимые неконсервативные возмущения кубических отображений Эно. В частности, исследованы перестройки, связанные с резонансом 1:3. Показано, что разрушение данного резонанса приводит к бифуркациям разрушения симметрии и к рождению смешанной динамики (пересечению аттрактора и репеллера) за счет возникновения нетрансверсальных гетероклинических циклов. Результаты обобщены на случай резонансов произвольного нечетного порядка.
В области приложений к задачам математической физики:
- получены универсальные топологические соотношения между числом нуль-точек и источников магнитного поля для ветвящихся конфигураций сепараторов, соединяющих источники и нуль-точки, которые ответственны за структуру анемоноподобных солнечных вспышек;
- исследованы перестройки синусоидальных волн в модифицированных уравнениях Кортевега - де Фриза с нелинейностями третьего и пятого порядка. В пределе нулевой дисперсии даны аналитические выражения для времени и уровней обрушения волны. Дано описание основных закономерностей неупругого взаимодействия солитоноподобных решений. Исследована динамика газа взаимодействующих бризеров, включая иррегулярные волны и турбулентность, а также статистические свойства полученных волновых решений. Найдены волны экстремальной амплитуды;
- предложена эффективная процедура для реконструкции фазы осцилляторной системы при помощи итеративного применения преобразования Гильберта. Показано, что данный метод существенно улучшает качество реконструкции для высокочастотных колебаний.
Внедрение результатов исследования:
В рамках работ над проектом разработан программный комплекс, реализующий высокопроизводительные методы численного исследования многомерных динамических систем, возникающих, в том числе, в различных приложениях. С помощью разработанного комплекса получены следующие результаты исследования прикладных моделей:
- в направлении, связанном с изучением моделей динамики инкапсулированных пузырьков газа в жидкости: выявлены области с гиперхаотическими колебаниями пузырьков, установлена возможность перехода от синхронных колебаний к асинхронным, показано, что этот процесс осуществляется по сценарию пузырькового перехода;
- по направлению, посвященному исследованию динамических систем, моделирующих функционирование генных сетей: описаны механизмы перехода от регулярных периодических режимов, соответствующих синфазным и противофазным режимам активности, к хаотическим; в направлении исследования ансамблей взаимодействующих нейроподобных элементов с изменяющейся во времени топологией связи обнаружен и описан новый эффект, когда периодическое замыкание и размыкание связи между элементами ансамбля приводит к экспоненциальному росту энергии;
- в гидродинамических моделях, описывающих конвекцию в слое жидкости: установлено существование псевдогиперболических аттракторов, а также квазиаттракторов, существующих на множествах значений параметров, имеющих положительную меру Лебега.
Организационные и инфраструктурные преобразования:
Создан центр коллективного пользования, оснащенный гетерогенной вычислительной установкой. На этой установке развернут разработанный программный комплекс, доступ к которому осуществляется по локальной сети. Пользователи комплексу имеют возможность исследовать модельные задачи, позволяющие улучить понимания различных динамических явлений, так и создавать и исследовать свои задачи, описываемые конечномерными динамическими системами.
Образование и переподготовка кадров:
Разработаны и внедрены курсы лекций: «Динамика эндоморфизмов», «Современная теория динамического хаоса», «Теория бифуркаций многомерных систем», «Квантовая механика для математиков», «Прикладная теория динамических систем», «Введение в однопараметрические полугруппы операторов и линейные эволюционные уравнения», «Динамические системы и приложения», «Дополнительные главы качественной теории динамических систем, геометрии и вещественного анализа», «Основы Теории колебаний», «Колебания в физических системах».
В 2021-2022 годах под руководством ведущего ученого проведена стажировка 6-ти членов научного коллектива лаборатории в Imperial College London (Великобритания) по направлению научного исследования. В 2023 году проведена стажировка 2-х членов научного коллектива лаборатории в Региональном научно-образовательном математическом центре «Математика технологий будущего» на базе ННГУ имени Н. И. Лобачевского.
Проведены международные школы-конференции:
- Международная студенческая школа-конференция «Mathematical spring 2020» 17 - 21 февраля 2020
- Международная студенческая школа-конференция «Mathematical spring 2021» 30 марта - 1 апреля 2021
- Международная студенческая школа-конференция «Mathematical spring 2023» 27 марта – 30 марта 2023
Сотрудничество:
-
Университет Тунцзи, Китай
- Научно-исследовательский институт кардиологии Саратовского государственного медицинского университета им. В.И. Разумовского
- Научно-учебная лаборатория «Нелинейный анализ и конструирование новых средств передвижения» Удмуртского государственного университета.
